将 pi 计算到一百万位小数

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引言

π是数学中最重要的数字之一。它定义为圆的周长与其直径的比率，但在数学的各个领域都出现。它是一个无限长的不循环小数。

在本文中，我不会尝试将π写成希腊字母，因为有些浏览器可能会显示不正确。

计算大量的π位数

有很多方法可以做到这一点。有些方法收敛速度很快，但实现起来很复杂。有些方法易于实现，但收敛速度非常慢。我选择了一种相当简单且收敛速度合理的方法。它基于以下公式

π / 4 = 4 * tan^-1(1 / 5) - tan^-1(1 / 239)

这是梅钦公式，它是精确的。

tan^-1()是反切函数，我使用麦克劳林级数来计算它

tan^-1(z) = z - z³ / 3 + z⁵ / 5 - z⁷ / 7 + ...

通过包含该级数的足够多项，我们可以达到任何所需的精度。为了获得π的1,000,000位小数精度，我们需要大约715,000项tan^-1(1/5)级数和大约210,000项tan^-1(1/239)级数，但这不必提前计算出来，附加的程序会在确定达到所需精度时自动停止。

多精度算法

32位整数只能提供大约9位有效数字。为了获得一百万位小数，我简单地实现了所需的多精度算术运算，使用一个大的int数组。多精度数字封装在CRHMultiLengthInteger类中。我充分利用了C++中的运算符表示法，使代码看起来就像我们只是在处理普通数字一样。例如

term5m /= n5 * 2 + 1;

看起来它只是将term5m除以一个数字，但它实际上是调用CRHMultiLengthInteger::operator /=()。

程序

附带的程序是一个简单的Win32控制台应用程序（它最初是带有MFC支持的标准“Hello，World！”应用程序）。您可以通过将#define NDecimalPlaces (1000100)更改为其他数字来调整它计算的小数位数。答案写入名为resultNDecimalPlaces.txt的文件中。

关注点

• 上述算法的持续时间为O(n²)。因此，小数位数增加10倍，所需时间将增加约100倍。我的7,000 MIPs PC计算π的前1,000,000位小数大约需要15个小时。总共大约有3.8亿亿条指令。
• 为了获得1,000,000位小数，每个多精度数字都实现为一个包含166685个整数的数组，使用1,000,000为基数，这样每个整数都可以提供6位有效数字。这实际上给了我们1,000,104位小数，但最后几位可能是错误的，因为我们必须丢弃麦克劳林级数的无限多项。与这个进行比较表明最后三位小数是错误的，因此我们实际上得到了精确到1,000,101位小数的π。
• π的前1,000,000位小数首次计算于1973年。
• 19世纪英国数学家威廉·尚克斯使用梅钦公式花了15年以上的时间计算π的前707位。他于1873年发表了他的结果。1944年，人们发现他在第528位犯了一个错误，所有后面的数字都是错误的。通过更改为#define NDecimalPlaces (1000)，您现在可以在几秒钟内就能完成威廉·尚克斯15年都未能完成的事情。

为什么？

这篇文章只是为了娱乐。我知道它很简单，但我认为人们可能会对看到它感兴趣。

让计算机计算大量的π位数确实有其用途，它可以用来证明计算机，或者至少它的ALU，正在正常工作。

致谢

非常感谢

• Lim Bio Liong为他优秀的程序，它使我能够捕获上面的窗口快照。

历史

• 2005年9月6日 - 首次提交。