量子计算高级初学者中级

人人量子计算 - 第二部分：量子门

Dominick Marciano

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2018 年 6 月 16 日

CPOL

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量子计算机门是什么，它们如何使用，以及它们对量子比特的影响的介绍。

第一部分：经典计算与量子计算

第三部分：量子电路与OpenQASM

引言

在本系列文章的第一部分中，我们了解了量子计算机和经典计算机的区别，学习了什么是量子比特以及如何表示它。如果您还没有阅读第一部分，我强烈建议您在开始阅读本文之前先阅读。以下所有内容都建立在第一部分介绍的概念之上。

在这一部分，我们将了解如何使用各种*量子门*来操作量子比特。这些门是经典计算机中逻辑门的量子计算等价物。量子门改变一个或多个量子比特的状态，从而实现计算。我们将从更简单、更常见的门开始介绍量子门，然后逐步深入到不太常见、更通用的门。初学者最应该学习的门是恒等门、泡利-X/-Y/-Z、哈达玛门、CNOT门、SWAP门、Toffoli门、$S$、$S^\dagger$、$T$和$T^\dagger$。我建议您首先掌握这些门，因为它们是最常见的，也是QX服务默认提供的门（不包括SWAP和Toffoli门）。

矩阵回顾

在讨论不同的量子门（也称为*操作*）及其功能之前，我们需要先回顾一些矩阵代数。这是必要的，因为要确定一个门操作量子比特后量子比特的状态，需要将表示量子比特初始状态的矩阵乘以门矩阵。

作用于单个量子比特的门由一个$2 \times 2$的酉矩阵表示。酉矩阵意味着，如果您将矩阵与其（复数）共轭转置相乘，您将得到一个单位矩阵。这是什么意思？让我们一步一步地分解以使其清晰。

让我们从以下形式的矩阵开始：

$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$

复数的共轭意味着改变虚部的符号。所以，如果您有一个复数$a + ib$，它的共轭是$a - ib$。反之亦然。如果您有一个数$a - ib$，它的共轭是$a + ib$。

矩阵的转置是另一个通过交换行和列形成的矩阵。对于我们的矩阵

$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$

转置将是

$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 0 & i \\ -i & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$

现在，如果我们取这个矩阵的共轭（通过改变虚数符号），我们将得到以下矩阵

$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$

在这种情况下，它恰好与原矩阵相同。

现在，单位矩阵是一个主对角线（从左上到右下）为$1$，其他所有元素为$0$的矩阵。所以一个$2 \times 2$的单位矩阵将是

$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$

总而言之，如果我们的原矩阵是酉矩阵，那么将其与其共轭转置相乘应该得到上面的单位矩阵。

$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$

结果矩阵是

$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 0 * 0 + -i * i & 0 * i + -i * 0 \\ i * 0 + 0 * i & i * -i + 0 * 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -i * i & 0 \\ 0 & i * -i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -(-1) & 0 \\ 0 & -(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$

矩阵乘法

如果两个方阵，$A$和$B$，其中每个矩阵定义为

$\begin{aligned} A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} B = \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} \end{aligned}$

相乘，则结果矩阵$C$（即$C = AB$）等于

$\begin{aligned} C = AB = \begin{pmatrix} ae + bg & af + bh \\ ce + dg & cf + dh \end{pmatrix} \end{aligned}$

由于结果矩阵是单位矩阵，我们证明了原矩阵确实是酉矩阵。实际上，这是一个特殊的矩阵，称为*泡利-Y门*。我们将在下一节中讨论这个门和其他门，但首先是一些关于符号的快速说明。

如果一个矩阵写成$U$，那么共轭转置写成$U^\dagger$。
单位矩阵通常写成$I$。
为了展示上述酉矩阵的矩阵乘法，我们可以写成$U^{\dagger}U=I$。
为了展示一个门作用在一个量子比特上，导致量子比特处于新状态，我们可以写成$|\psi^{\prime}\rangle = U|\psi\rangle$，其中$|\psi^{\prime}\rangle$是门完成对量子比特的操作后量子比特的状态。

由于写出矩阵乘法可能很冗长，特别是当您开始使用三量子比特门（如Toffoli门）时，它们由$8 \times 8$矩阵表示，我提供了一个在线矩阵计算器的链接。有关此资源的更多信息以及指向该页面的链接，可以在参考资料部分找到。

量子门

量子门是量子电路的基本构建块，也是经典计算机中逻辑门的量子模拟。量子门有两个重要的特性需要记住：

量子门是*可逆的*，而许多经典逻辑门则不是。例如，您无法仅根据经典AND门的输出确定其输入是什么。然而，对于量子门，可以从输出中重构输入。
大多数量子门一次操作一个或两个量子比特，但*所有*量子门都由酉矩阵表示。如果一个门作用于$n$个量子比特，那么该门的矩阵是$2^n \times 2^n$的酉矩阵。

在本节中，在描述量子门如何改变量子比特的状态时，除非另有说明，否则假定量子比特初始处于基态（即$|0\rangle$）。要确定量子比特在被门操作后状态如何变化，需要将量子比特当前状态的矩阵乘以作用于量子比特的门的矩阵。一个具体的例子在泡利-X门描述下给出，但对于所有门都一样，只是相乘的矩阵不同。

单量子比特门

恒等门

最简单的门称为恒等门。

$\begin{aligned} I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$

此门不改变量子比特的状态，并输出输入的所有内容。例如，恒等门将$|0\rangle$映射到$|0\rangle$，将$|1\rangle$映射到$|1\rangle$。它相当于NOP（无操作）。

泡利门

三个最常见的门称为泡利门。包括泡利-X门、泡利-Y门和泡利-Z门。这些门的矩阵如下：

$\begin{aligned} X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} Y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}$

我们稍后会看到，这三个门都是更通用的旋转门的特例。

泡利-X门 (NOT门)

我们将从描述泡利-X门开始。为了了解这个门如何改变量子比特的状态，以及为什么它有时被称为NOT门，我们将把起始量子比特的矩阵乘以泡利-X门矩阵（如上所述）。

$\begin{aligned} X|0\rangle = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 * 1 + 1 * 0 \\ 1 * 1 + 0 * 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$

应用泡利-X门的结果是将$|0\rangle$（$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$）状态的量子比特改变为$|1\rangle$（$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$）状态。也就是说，它将基态的量子比特变为激发态的量子比特。如果该门作用于处于激发态$|1\rangle$的量子比特，则结果状态将是基态$|0\rangle$。这就是为什么该门也称为NOT门（或位翻转门），因为它作用的方式与经典NOT门相同，即改变量子比特到其相反的状态。如果我们回忆一下布洛赫球

由Glosser.ca - 原创作品，CC BY-SA 3.0，链接

X门在球体上绕X轴旋转$\pi$弧度，并具有$X \longrightarrow X$和$Z \longrightarrow -Z$的性质。

泡利-Y门

泡利-Y门，顾名思义，在布洛赫球上绕Y轴旋转$\pi$弧度，并具有$X \longrightarrow -X$和$Z \longrightarrow -Z$的性质。该门将$|0\rangle$映射到$i|1\rangle$，将$|1\rangle$映射到$-i|0\rangle$。通过将量子比特矩阵乘以上面给出的泡利-Y门矩阵，可以轻松证明这一点。

泡利-Z门 (相位翻转门)

与泡利-X门和泡利-Y门一样，泡利-Z门作用于单个量子比特，并绕布洛赫球的Z轴旋转$\pi$弧度，并具有$X \longrightarrow -X$和$Z \longrightarrow Z$的性质。

哈达玛门

另一个常见且重要的门是哈达玛门。这个门很重要，因为它用于将量子比特置于叠加态（即$|0\rangle$和$|1\rangle$的混合），正如我们在本系列第一部分中所学到的，这是量子计算机获得强大能力的原因之一。哈达玛门的矩阵是：

$\begin{aligned} H = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}$

该门相当于两次旋转：绕X轴旋转$\pi$弧度，然后绕Y轴旋转$\frac{\pi}{2}$弧度。这两次旋转也等同于绕$(\hat{x} + \hat{z}{)}/\sqrt{2}$轴旋转$\pi$弧度。

为了了解哈达玛门如何改变量子比特的状态，我们可以将$|0\rangle$的矩阵乘以上面给出的哈达玛门矩阵。该操作的结果是$\frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}$。这也可以写成$\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle$，其矩阵形式为：

$\begin{aligned} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \end{aligned}$

这意味着测量到$|0\rangle$状态或$|1\rangle$状态的概率是$50%$。我们在第一部分的**量子比特**部分解释了为什么是$50/50$。此外，如果您回顾第一部分中的**量子力学五大定律**侧边栏，您会注意到上述矩阵也称为$|+\rangle$状态。

如果哈达玛门作用于$|1\rangle$状态的量子比特，结果将是$\frac{|0\rangle - |1\rangle}{\sqrt{2}}$。这也称为$|-\rangle$状态。符号的差异（$-$而不是$+$）表示相位差。然而，正如我们在第一部分**可视化量子比特**下提到的，相位因子本身没有物理意义。因此，哈达玛门作用于$|1\rangle$状态的量子比特，导致量子比特状态有等于$|0\rangle$或$|1\rangle$的概率，与门作用于$|0\rangle$状态的量子比特时相同。

对$|0\rangle$或$|1\rangle$量子比特应用哈达玛门会将其置于一个测量为$|0\rangle$或$|1\rangle$的概率相等的（即叠加）状态。然而，连续两次应用该门会将量子比特置于一个确定的状态，该状态是量子比特在第一次应用哈达玛门之前的状态。即：

$\begin{aligned} HH|0\rangle = |0\rangle \\ HH|1\rangle = |1\rangle \end{aligned}$

即使在两种情况下，在应用第一个门后，量子比特都处于叠加态。通过将量子比特的矩阵与哈达玛矩阵相乘，然后将结果矩阵与哈达玛矩阵相乘，可以轻松验证这一点。这是因为将量子门矩阵与其自身相乘会得到单位矩阵，而任何矩阵乘以单位矩阵都等于其本身（即，将矩阵乘以单位矩阵类似于将数字乘以一）。该门还具有$X \longrightarrow Z$和$Z \longrightarrow X$的性质。

多量子比特门

仅作用于单个量子比特的门，虽然必要，但不足以执行计算。为此，需要操作多个量子比特的门。本节将介绍三个最常见的*多量子比特门*。

通用受控门

任何作用于单个量子比特的门都可以转化为该门的受控版本。如果我们有一个作用于单个量子比特的门$G$，其矩阵表示为：

$\begin{aligned} G = \begin{pmatrix} g_{00} & g_{01} \\ g_{10} & g_{11} \end{pmatrix} \end{aligned}$

那么，$G$的受控版本（其中第一个量子比特是控制位）的矩阵是：

$\begin{aligned} G = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & g_{00} & g_{01} \\ 0 & 0 & g_{10} & g_{11} \end{pmatrix} \end{aligned}$

这也是为什么CNOT矩阵的右下角与泡利-X（NOT）门相同。

CNOT门

CNOT门是一个*受控*NOT门。该门作用于两个量子比特，并且仅当第一个量子比特为$|1\rangle$时，才对第二个量子比特执行NOT操作。控制量子比特由点表示，目标量子比特由带交叉的圆圈表示。左图中的控制量子比特是上面一行，目标量子比特是下面一行。

如本文量子门介绍部分所述，作用于$n$个量子比特的门由大小为$2^n \times 2^n$的矩阵表示。对于CNOT门，该矩阵是：

$\begin{aligned} CNOT = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$

CNOT门的真值表是：

以前	操作后
\(\|0\rangle\)	\(\|0\rangle\)	\(\|0\rangle\)	\(\|0\rangle\)
\(\|0\rangle\)	\(\|1\rangle\)	\(\|0\rangle\)	\(\|1\rangle\)
\(\|1\rangle\)	\(\|0\rangle\)	\(\|1\rangle\)	\(\|1\rangle\)
\(\|1\rangle\)	\(\|1\rangle\)	\(\|1\rangle\)	\(\|0\rangle\)

以前

操作后

Control

目标

Control

目标

$|0\rangle$

$|1\rangle$

$|0\rangle$

$|1\rangle$

$|0\rangle$

$|1\rangle$

$|0\rangle$

从这个真值表可以看出，目标量子比特的最终状态是经典XOR门的模拟。当两个输入相同时，目标量子比特为$|0\rangle$，但当输入不同时，目标量子比特为$|1\rangle$。当控制量子比特固定为$|0\rangle$或$|1\rangle$时，目标量子比特的最终状态分别等同于应用恒等门或泡利-X（NOT）门。

SWAP门

SWAP门的作用正如其名称所示。它交换两个量子比特。这意味着当将SWAP门应用于两个量子比特时，结果状态是：

$\begin{aligned} |00\rangle \mapsto |00\rangle \\ |01\rangle \mapsto |10\rangle \\ |10\rangle \mapsto |01\rangle \\ |11\rangle \mapsto |00\rangle \\ \end{aligned}$

SWAP门的矩阵是：

$\begin{aligned} CNOT = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$

要将此门应用于两个量子比特，我们需要扩展量子比特矩阵以容纳两个量子比特。例如，对于处于$|0\rangle$状态的单个量子比特，矩阵是$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$。然而，两个量子比特都处于基态$|00\rangle$，矩阵是：

$\begin{aligned} |00\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$

两个量子比特的四种可能状态组合也由$4 \times 1$矩阵表示。这些矩阵是：

$\begin{aligned} |00\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} |01\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} |10\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} |11\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$

使用这些矩阵，我们现在可以进行乘法运算，以查看矩阵（以及因此的量子比特状态）是如何改变的。下面是两个例子，一个是在$|11\rangle$状态上操作的SWAP门，另一个是在$|01\rangle$状态上操作的SWAP门。

我们将从$|11\rangle$状态开始，该状态在SWAP门操作后应该保持不变。

$\begin{aligned} SWAP|11\rangle = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1*0+0*0+0*0+0*1 \\ 0*0+0*0+1*0+0*1 \\ 0*0+1*0+0*0+0*1 \\ 0*0+0*0+0*0+1*1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = |11\rangle \end{aligned}$

如您所见，SWAP门作用于$|11\rangle$状态的结果是$|11\rangle$，这正是我们所期望的。现在让我们看看当SWAP门作用于$|01\rangle$状态时会发生什么。最终状态应该是代表$|10\rangle$状态的矩阵。

$\begin{aligned} SWAP|01\rangle = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1*0+0*1+0*0+0*0 \\ 0*0+0*1+1*0+0*0 \\ 0*0+1*1+0*0+0*0 \\ 0*0+0*1+0*0+1*0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = |10\rangle \end{aligned}$

同样，我们得到了预期的结果；两个量子比特状态已被交换。

Toffoli门 (CCNOT)

Toffoli门也称为*CCNOT*，它是我们看到的第一个作用于三个量子比特的门。该门类似于CNOT门；当*两个*控制量子比特都处于$|1\rangle$状态时，该门对第三个量子比特应用泡利-X（NOT）门。该门的矩阵是：

$\begin{aligned} CNOT = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$

Toffoli（CCNOT）门的真值表是：

以前	操作后
\(\|0\rangle\)	\(\|0\rangle\)	\(\|0\rangle\)	\(\|0\rangle\)	\(\|0\rangle\)	\(\|0\rangle\)
\(\|0\rangle\)	\(\|0\rangle\)	\(\|1\rangle\)	\(\|0\rangle\)	\(\|0\rangle\)	\(\|1\rangle\)
\(\|0\rangle\)	\(\|1\rangle\)	\(\|0\rangle\)	\(\|0\rangle\)	\(\|1\rangle\)	\(\|0\rangle\)
\(\|0\rangle\)	\(\|1\rangle\)	\(\|1\rangle\)	\(\|0\rangle\)	\(\|1\rangle\)	\(\|1\rangle\)
\(\|1\rangle\)	\(\|0\rangle\)	\(\|0\rangle\)	\(\|1\rangle\)	\(\|0\rangle\)	\(\|0\rangle\)
\(\|1\rangle\)	\(\|0\rangle\)	\(\|1\rangle\)	\(\|1\rangle\)	\(\|0\rangle\)	\(\|1\rangle\)
\(\|1\rangle\)	\(\|1\rangle\)	\(\|0\rangle\)	\(\|1\rangle\)	\(\|1\rangle\)	\(\|1\rangle\)
\(\|1\rangle\)	\(\|1\rangle\)	\(\|1\rangle\)	\(\|1\rangle\)	\(\|1\rangle\)	\(\|0\rangle\)

以前

操作后

控制位 1

控制位 2

目标

控制位 1

控制位 2

目标

$|0\rangle$

$|1\rangle$

$|0\rangle$

$|1\rangle$

$|0\rangle$

$|1\rangle$

$|0\rangle$

$|1\rangle$

$|0\rangle$

$|1\rangle$

$|0\rangle$

$|1\rangle$

$|0\rangle$

$|1\rangle$

$|0\rangle$

$|1\rangle$

$|0\rangle$

$|1\rangle$

$|0\rangle$

$|1\rangle$

$|0\rangle$

$|1\rangle$

$|0\rangle$

其他门

本节中的所有门都比前面介绍的门更高级。这是因为这些门执行更复杂的旋转（如在布洛赫球上可视化所示），其中一些门（例如旋转门）执行任意角度的旋转。QX服务仅提供本节中的$S$、$S^\dagger$、$T$和$T^\dagger$门。其他门（例如Fredkin门、$\sqrt{SWAP}$门等）在此提供作为参考。但是，您不必了解/理解所有这些门就能使用QX服务或构建简单的量子电路。可以使用前面讨论过的门来完成。因此，与我们已经看到的门相比，对这些门的详细介绍会少得多，但如果您想进一步研究这些门，可以在参考资料部分找到链接。

相位门

$S$门 - $\sqrt{Z}$

$S$门绕Z轴执行$\frac{\pi}{2}$的旋转。该门扩展了$H$门以创建复数叠加，并具有$X \longrightarrow Y$和$Z \longrightarrow Z$的性质。该门的矩阵是：

$\begin{aligned} S = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} \end{aligned}$

从这个矩阵可以看出，为什么该门也称为$\sqrt{Z}$。如果我们自己将$S$的矩阵与其自身相乘，我们将得到$Z$门的矩阵（$S^2 = Z$）。

$\begin{aligned} S^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1*1+0*0 & 1*0+0*i \\ 0*1+i*0 & 0*0+i*i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \sqrt{-1}^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}$

$S^\dagger$门 - $\sqrt{Z}^\dagger$

该门是$S$门的共轭转置，并具有$X \longrightarrow -Y$和$Z \longrightarrow Z$的性质。执行的旋转与$S$门相反，绕Z轴旋转$-\frac{\pi}{2}$。矩阵与$S$门相同，只是复数符号相反（因为它是$S$门的复共轭）。

$\begin{aligned} S = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} \end{aligned}$

另外，由于这些门是相反的，将它们一个接一个地应用会恢复原始状态。即：

$\begin{aligned} SS^\dagger|0\rangle = |0\rangle \\ SS^\dagger|1\rangle = |1\rangle \\ \end{aligned}$

$T$门 - $\sqrt{S}$

$T$门绕Z轴执行$\frac{\pi}{4}$的旋转。该门的矩阵是：

$\begin{aligned} T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{1+i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \end{aligned}$

与$S$门类似，$T$门相当于$\sqrt{S}$。我们可以通过将$T$门的矩阵与其自身相乘来验证这一点。

$\begin{aligned} T^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{1+i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{1+i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1*1+0*0 & 1*0+0*\frac{1+i}{\sqrt{2}} \\ 0*1+\frac{1+i}{\sqrt{2}}*0 & 0*0+\frac{1+i}{\sqrt{2}}*\frac{1+i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & (\frac{1+i}{\sqrt{2}})^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} \end{aligned}$

代数回顾

$\begin{aligned} (\frac{1+i}{\sqrt{2}})^2 = \frac{(1+i)(1+i)}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{2i}{2} = i \end{aligned}$

可以使用FOIL方法（**F**irst, **O**uter, **I**nner, **L**ast）简化分数的分子。

$\begin{aligned} (1+i)(1+i) = 1*1 + 1*i + i*1 + i*i = 1 + 2i +i^2 = 1 + 2i + \sqrt(-1)^2 = 1 + 2i - 1 = 2i \end{aligned}$

$T^\dagger$门 - $\sqrt{S}^\dagger$

该门是$T$门的共轭转置，并且绕Z轴执行的旋转与$T$门相反——$-\frac{\pi}{4}$。同样，与$S^\dagger$门一样，将$T$和$T^\dagger$门一个接一个地应用，会使被操作的量子比特恢复到其初始状态。

$\begin{aligned} TT^\dagger|0\rangle = |0\rangle \\ TT^\dagger|1\rangle = |1\rangle \\ \end{aligned}$

Fredkin门 (CSWAP)

Fredkin门是一个三量子比特门，类似于CNOT门，但是它不对目标量子比特应用NOT操作（当两个控制量子比特都处于$|1\rangle$状态时），而是对目标量子比特应用SWAP操作。这就是为什么您有时会看到该门被称为CSWAP（受控SWAP）门。该门的矩阵是：

$\begin{aligned} Fredkin = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$

Fredkin（CSWAP）门的真值表是：

以前	操作后
\(\|0\rangle\)	\(\|0\rangle\)	\(\|0\rangle\)	\(\|0\rangle\)	\(\|0\rangle\)	\(\|0\rangle\)
\(\|0\rangle\)	\(\|0\rangle\)	\(\|1\rangle\)	\(\|0\rangle\)	\(\|0\rangle\)	\(\|1\rangle\)
\(\|0\rangle\)	\(\|1\rangle\)	\(\|0\rangle\)	\(\|0\rangle\)	\(\|1\rangle\)	\(\|0\rangle\)
\(\|0\rangle\)	\(\|1\rangle\)	\(\|1\rangle\)	\(\|0\rangle\)	\(\|1\rangle\)	\(\|1\rangle\)
\(\|1\rangle\)	\(\|0\rangle\)	\(\|0\rangle\)	\(\|1\rangle\)	\(\|0\rangle\)	\(\|0\rangle\)
\(\|1\rangle\)	\(\|0\rangle\)	\(\|1\rangle\)	\(\|1\rangle\)	\(\|1\rangle\)	\(\|0\rangle\)
\(\|1\rangle\)	\(\|1\rangle\)	\(\|0\rangle\)	\(\|1\rangle\)	\(\|0\rangle\)	\(\|1\rangle\)
\(\|1\rangle\)	\(\|1\rangle\)	\(\|1\rangle\)	\(\|1\rangle\)	\(\|1\rangle\)	\(\|1\rangle\)

以前

操作后

Control

目标 1

目标 2

Control

目标 1

目标 2

$|0\rangle$

$|1\rangle$

$|0\rangle$

$|1\rangle$

$|0\rangle$

$|1\rangle$

$|0\rangle$

$|1\rangle$

$|0\rangle$

$|1\rangle$

$|0\rangle$

$|1\rangle$

$|0\rangle$

$|1\rangle$

$|0\rangle$

$|1\rangle$

$|0\rangle$

$|1\rangle$

$|0\rangle$

$|1\rangle$

$|0\rangle$

$|1\rangle$

$|0\rangle$

$|1\rangle$

$\sqrt{NOT}$门

该门作用于单个量子比特，其矩阵表示为：

$\begin{aligned} \sqrt{NOT} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1+i & 1-i \\ 1-i & 1+i \end{pmatrix} \end{aligned}$

顾名思义，连续两次应用$\sqrt{NOT}$门作用于一个量子比特等同于应用一次$NOT$门（即泡利-X）——$\sqrt{NOT}\sqrt{NOT}=NOT$。

可以通过将$\sqrt{NOT}$门矩阵与其自身相乘来证明这一点。

$\begin{aligned} \sqrt{NOT}\sqrt{NOT} = \begin{pmatrix} \frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \\ \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \\ \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1+i}{2}*\frac{1+i}{2} + \frac{1-i}{2}*\frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2}*\frac{1-i}{2} + \frac{1-i}{2}*\frac{1+i}{2} \\ \frac{1-i}{2}*\frac{1+i}{2} + \frac{1+i}{2}*\frac{1-i}{2} & \frac{1-i}{2}*\frac{1-i}{2} + \frac{1+i}{2}*\frac{1+i}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{i}{2}-\frac{i}{2} & \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}+\frac{1}{2} & -\frac{i}{2}+\frac{i}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$

最终矩阵确实与泡利-X（NOT）门相同。

$\sqrt{SWAP}$门

该门作用于两个量子比特，其矩阵表示为：

$\begin{aligned} \sqrt{SWAP} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2}(1+i) & \frac{1}{2}(1-i) & 0 \\ 0 & \frac{1}{2}(1-i) & \frac{1}{2}(1+i) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \end{aligned}$

与$\sqrt{NOT}$门类似，如果我们自己将$\sqrt{SWAP}$门矩阵与其自身相乘，我们将得到SWAP门的矩阵（即$\sqrt{SWAP}\sqrt{SWAP}=SWAP$）。证明该结果与SWAP门相同的矩阵并不难，但会占用大量空间，因此我们在此不展示。但是，您可以按照与$\sqrt{NOT}$门相同的步骤，使用$\sqrt{SWAP}$门矩阵自行推导。

旋转门

旋转门正是它们名称所示的功能——它们以特定角度绕特定轴旋转量子比特。

X轴旋转门

X轴旋转门是绕Y轴和Z轴旋转的组合。该门以Y和Z旋转表示为：

$\begin{aligned} R_x(\theta) = R_z\left(\frac{\pi}{2}\right) \cdot R_y(\theta) \cdot R_z\left(-\frac{\pi}{2}\right) \end{aligned}$

X轴旋转门也可以表示为以下门矩阵：

$\begin{aligned} R_x(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) & i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \\ -i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) & \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\end{pmatrix} \end{aligned}$

Y轴旋转门

Y轴旋转门的矩阵是：

$\begin{aligned} R_y(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) & \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \\ -\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) & \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\end{pmatrix} \end{aligned}$

Z轴旋转门

Z轴旋转门的矩阵是：

$\begin{aligned} R_z(\alpha) = \begin{pmatrix} e^{i\alpha/2} & 0 \\ 0 & e^{-i\alpha/2}\end{pmatrix} \end{aligned}$

结论

本部分详细介绍了最常见和一些不常见的量子门，以及它们的矩阵表示以及量子比特在门应用后如何受到影响。利用这些信息，我们可以开始构建量子电路，用于解决整数分解等问题。下一部分，第三部分 - 量子电路与OpenQASM，将介绍量子电路以及一种专门用于描述它们的编程语言。

参考文献

以下是更多信息的链接列表。其中大部分（如果不是全部）都包含在文章中，但此处也包含以方便查阅。

酉矩阵
量子门
经典与量子逻辑门 (PDF，于2017年4月17日检索)
第三章：量子门 (PDF，于2017年4月17日检索)
Toffoli门与Deutsch门的关系
量子计算的通用双量子比特门 (PDF，于2017年4月17日检索)
量子门与电路 (PDF，于2017年4月17日检索)
用于Qudit的SWAP门 (PDF，于2017年4月17日检索)
量子计算的基本门 (PDF，于2017年4月17日检索)
南加州大学研究计算设施EE520课程的第11讲 (量子电路) (PDF，于2017年4月17日检索)
- 该课程的EE 520课程材料页面提供了另外24节讲座。
这个矩阵计算器对于完成文章中的一些矩阵数学运算可能很有用。它可以进行矩阵加/减/乘，获取转置，并且接受复数。但是，它有一个限制，即无法输入实数方程式。例如，您不能输入$\frac{1+2}{i}$、$1+2$或$\frac{5}{i-3}$。但是，$\frac{1+i}{2}$、$i+2$和$\frac{5}{i-3}$都可以接受。

历史

2017年6月26日：第一个版本

第一部分：经典计算与量子计算

第三部分：量子电路与OpenQASM

人人量子计算 - 第二部分：量子门

目录

引言

矩阵回顾

量子门

单量子比特门

恒等门

泡利门

泡利-X门 (NOT门)

泡利-Y门

泡利-Z门 (相位翻转门)

哈达玛门

多量子比特门

CNOT门

SWAP门

Toffoli门 (CCNOT)

其他门

相位门

\(S\)门 - \(\sqrt{Z}\)

\(S^\dagger\)门 - \(\sqrt{Z}^\dagger\)

\(T\)门 - \(\sqrt{S}\)

\(T^\dagger\)门 - \(\sqrt{S}^\dagger\)

Fredkin门 (CSWAP)

\(\sqrt{NOT}\)门

\(\sqrt{SWAP}\)门

旋转门

X轴旋转门

Y轴旋转门

Z轴旋转门

结论

参考文献

历史