概率论历史中的一个有趣问题

• 下载源代码 - 871 B

1. 引言

最近，我正在阅读一本名为《统计漫画指南》的书，作者是 Larry Gonick 和 Woollcott Smith。这本书以一种令人愉快的方式，仅通过漫画解释了统计学和概率论的概念。在这本书的十二个章节中，有一章专门讲概率，我正是从这里开始，而不是理解，而是真正理解了概率的基本概念。

虽然这本书中有几道说明性的问题，但我特别想强调一道特别有趣的问题，它让我接触到了一些基本概率概念。在本文中，我想给出该问题的陈述，给出一个显而易见的（但错误的）解决方案，然后展示正确的解决方案。同时，我还会提供一个模拟这个问题的 Python 程序。希望这个问题和解决方案能激励您阅读这本书，并以一种不同的方式学习和理解统计概念。

2. 问题陈述

在十七世纪，法国有一位名叫Chevalier de Mere的人，据说他是一位赌徒，并且经常玩骰子。他有一个有趣的问题，他向他的朋友，数学家兼物理学家Blaise Pascal提出了这个问题。据说，通过 Pascal 和他的同事数学家Pierre de Fermat之间的几封信件往来，概率论就发展起来了。

Chevalier de Mere 提出的问题如下。给定以下两个随机实验，哪一个发生的概率更高？

1. 在单次掷六次骰子（一个普通的六面骰子）的情况下，出现至少一次六的概率。
2. 在掷一对骰子二十四次的情况下，出现至少一次双六的概率。

接下来，我们检查显而易见的解决方案，然后是正确的解决方案。

3. 表面解，或显而易见的解决方案

表面解，或显而易见的解决方案是，这两个事件的概率是相同的。“证明”如下：

在接下来的叙述中，我们将事件发生的概率表示为P(event)。

对于上面提出的第一个问题

P(单次掷骰子出现一次六) = 1/6

因此，P(掷四次骰子出现一次六) = 4 * 1/6 = 2/3

对于上面提出的第二个问题

P(掷一对骰子一次出现双六) = 1/36

因此，P(掷一对骰子二十四次出现一次双六) = 24 * 1/36 = 2/3

这“证明”了两个事件的概率相同。这是 Chevalier de Mere 当时的结论。值得注意的是，概率论尚未发展起来，他认为他的结论是正确的。

但是，de Mere 不仅赌了很多，还仔细记录了他的输赢。他的观察是，他在第一次赌博中赢的更多。在下一节中，我们将使用 Python 程序来运行这些实验。

4. Python 模拟

编写了一个 Python 脚本来模拟问题陈述中提到的上述两个事件。这个小程序的主要组成部分是：

4a. 掷一次骰子的函数

这个函数很简单，如下所示：

# Function to roll a single dice once
def roll_dice():
    lo = 1
    hi = 6
    return random.randint(lo, hi)

这里需要注意的一点是，函数random.randint()返回指定范围内的均匀分布的随机整数，其中lo <= N <= hi。这里不应使用任何加权分布，否则将模拟加权骰子。

4b. 掷单次骰子 4 次的函数

这只不过是在for循环中的上述内容。需要注意的一点是，一旦骰子滚动返回6，该函数就会返回True，而无需进行任何进一步的滚动。

def four_rolls_single_dice():
    for _ in range(4):
        if roll_dice() == 6:
            return True
    return False

4c. 掷一对骰子 24 次的函数

这与上面的函数类似，但在这里，我们会在返回True之前检查两次骰子滚动的总和是否为12。

def twenty_four_rolls_two_dice():
    for _ in range(24):
        if roll_dice() + roll_dice() == 12:
            return True
    return False

4d. 计算概率

还有两个名为problem1()和problem2()的函数，其中通过执行大量（一千万次）实验并记录结果来计算概率。

4e. 输出

Python 脚本的输出如下：

..........
Problem 1 - At least one six in four rolls of a single dice
-----------------------------------------------------------
Computed Probability =  0.5178528
Actual Probability from formula =  0.5177469135802468

..........
Problem 2 - At least one double-six in twenty four rolls of a pair of dice
--------------------------------------------------------------------------
Computed Probability =  0.4914268
Actual Probability from formula =  0.4914038761309034

从输出中可以看出，Python 脚本中也计算了实际概率。还可以看出，通过实验计算出的概率和通过公式计算出的概率非常接近，从而验证了该程序。需要注意的是，每次运行的结果会略有不同，因为它们是模拟随机事件。实际概率计算的公式在下一节中给出。

5. 概率的正确计算

在上面的第 3 节中，我们看到了导致错误结果的表面解。问题陈述中的关键短语是“至少”。这个短语在概率计算中起着关键作用。在本节中，我们计算正确的概率。

5a. 在四次掷单次骰子中至少出现一次六的概率

我们从在单次掷骰子中未出现六的概率开始。该概率为 5/6。换句话说：

P(单次掷骰子未出现六) = 5/6

因此，P(掷四次骰子未出现六) = (5/6)⁴ = 0.4823

以上使用了乘法公式，即当事件E和F独立时，P(E and F) = P(E) * P(F)。在我们的例子中，一次掷骰子与同一骰子的另一次掷骰子是独立的，它们之间没有关联。

因此，P(掷四次骰子至少出现一次六) = 1 - P(掷四次骰子未出现六) = 1 - 0.4823 = 0.5177

5b. 在掷一对骰子二十四次中至少出现一次双六的概率

与上面一样，我们检查在掷一对骰子一次中未出现双六的概率。该概率为 35/36。换句话说：

P(掷一对骰子一次未出现双六) = 35/36

因此，P(掷二十四次骰子未出现双六) = (35/36)²⁴ = 0.5086

因此，P(掷一对骰子二十四次至少出现一次双六) = 1 - P(掷一对骰子二十四次未出现双六) = 1 - 0.5086 = 0.4914

从上面可以看出，这些概率确实不同，第二个概率更小。这就是 Chevalier de Mere 在第二次赌博中比第一次赌博输得更多的原因。如上所述，这表明他不仅赌了很多，而且还一丝不苟地记录了他的输赢。

如上所述，关键短语是至少。对于第一个事件，这意味着必须将以下概率相加才能得出正确的概率——在四次掷骰子中出现一次六的概率，在四次掷骰子中出现两次六的概率，在四次掷骰子中出现三次六的概率，以及在四次掷骰子中全部出现六的概率。这将是 1 - 完全未出现六的概率。对于第二个事件，必须相加等效的概率才能得出正确的概率。感谢 CodeProject 会员 Marius Bancila 建议将此内容纳入文章。

6. 结语

本文考虑了一个概率上的有趣问题——一个涉及掷骰子的问题。考虑了两个事件并比较了它们的概率。在第一个事件中，掷单个骰子四次，并检查了至少出现一次六的概率。在第二个事件中，掷一对骰子二十四次，并检查了至少出现一次双六的概率。我们首先看到了一个表面解，它表明这两个概率相同。然后，我们通过了一个模拟这两个事件的 Python 程序，发现第一个事件的概率更高。然后，我们展示了这两个概率如何不同，并论证了 Python 程序得出的结论。

真诚希望您觉得这个分析问题很有趣。还希望本文能激发您阅读本文顶部提到的《统计漫画指南》，并以一种全新的方式探索统计学。

历史

• 2018年6月7日：版本 1.0