表达式树中的参数替换

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引言

本文介绍了一种转换 System.Linq.Expression 对象的方法，该方法通过用不同的表达式替换其中的某些参数来实现。此技术可应用于例如使用 lambda 表达式描述数学函数的情况，它将允许通过自变量替换技术生成新函数。相应地，它在创建图表、2D 和 3D 图形时非常有用。

本文仅展示如何将此技术应用于生成新函数以及创建这些函数的 Silverlight 图。未来的文章将描述将此技术应用于 2D 图形和动画。

背景

数学中有一个非常常见的问题。假设我们有一个函数 y = f(x)。还有一个函数 x = g(t)；我们可以组合这两个函数得到依赖关系 y = (f*g)(t)，其中 f*g 是一个组合函数。

这个问题可以推广到多自变量函数：假设我们有一个函数 y = F(x1, x2, ..., xn)。假设还有一个函数使得其一个自变量 x_j 依赖于一组其他自变量：xj = G(t1, ..., tm)。函数 F 和 G 可以组合成函数 (F*G)，该函数操作与函数 F 相同的自变量，只是自变量 x_j 被替换为 t1, ..., tm。
y = (F*G)(x1, ..., xj-1, t1, ..., tm, xj+1, ... ,xn).

.NET 中，数学函数可以用 lambda 表达式或相应的表达式树来描述。我们要解决的问题最好通过一个例子来展示：假设我们有一个表达式，它对应于例如某个多项式。

  Expression<Func<double, double>> polynomialExpression = 
    x => x*x*x*x + 3*x*x*x + 5*x*x + 10*x + 20;  

假设我们想创建并使用代表上述表达式沿变量 x 的任意平移的其他表达式。直接地，我们可以创建一个依赖于 2 个自变量的另一个表达式：x 和 shift。

  Expression<Func<double, double>> polynomialExpressionWithShifts = 
    (x, shift) => 
        (x-shift)*(x-shift)*(x-shift)*(x-shift) + 
        3*(x-shift)*(x-shift)*(x-shift) + 
        5*(x-shift)*(x-shift) + 
        10*(x-shift) + 
        20;

然而，这并不是一个方便的表达式。此外，如果需要更多的自由度，例如，除了任意平移外，我们还需要任意的缩放（使函数沿 x 轴变窄或变宽），表达式将变得越来越复杂。

使用本文描述的方法，要获得 polynomialExpressionWithShifts，只需编写以下代码。

  Expression<Func<double, double>> shiftExpression = (x, shift) => x - shift
  Expression<Func<double, double>> polynomialExpressionWithShifts = 
    	(Expression<Func<double, double>>)polynomialExpression.Substitute
	("x", shiftExpression);

扩展方法 Substitute 将用 ParameterExpressions x 和 shift 替换 polynomialExpression 中的 ParameterExpression x，并修改表达式的代码，将变量 'x' 的任何出现替换为 'x - shift'（shiftExpression 的主体）。

为了添加缩放功能，我们只需编写以下代码。

  Expression<Func<double, double, double>> dilationAndShiftExpression = 
            (x, dilationFactor, shift) = x * dilationFactor - shift
  Expression<Func<double, double, double>> polynomialExpressionWithShifts = 
    	(Expression<Func<double, double, double>>)polynomialExpression.Substitute
	("x", dilationAndShiftExpression);

该方法足够通用，可以处理原始表达式中的多个变量。这就是为什么在扩展函数 Substitute 中指定变量名称的原因——我们只替换作为其参数之一传递给表达式的变量的名称。

Using the Code

附带的代码包含以下四个项目。

1. ExpressionModifier - 包含核心功能 - 它生成 .NET 4.0 DLL。
2. ExpressionModifierTester - 包含 ExpressionModifier 功能的 Microsoft 测试。
3. SilverlightExpressionModifier - 与 ExpressionModifier 相同，但它是一个 Silverlight 4.0 项目。
4. SimplePlots - Silverlight 4.0 项目，用于绘制不同的表达式 - 其目的是提供一些参数替换的可视化示例。

使用示例可以从 SimplePlot 和 ExpressionModifierTester 项目中获取。

应将 SimplePlot 设置为解决方案的启动项目。

SimplePlot 项目中的替换发生在 MainPage.PlotMainAndModified 函数中。

public void PlotMainAndModified
(
    Expression<Func<double, double>> mainExpression, 
    Expression<Func<double, double>> substExpression, 
    double delta = 0.1, 
    double pointSize = POINT_SIZE
)
{
    AddPlot(Colors.Red, delta, mainExpression.Compile(), pointSize);

    LambdaExpression modifiedExpression =
          mainExpression.Substitute("x", substExpression);

AddPlot
(
	Colors.Blue, 
	delta, 
	modifiedExpression.Compile() as Func<double, double>,
	pointSize
);
}

此函数以红色绘制原始函数，以蓝色绘制结果函数。

请确保在 MainPage.MainPage 构造函数的末尾取消注释正弦示例行，而注释掉抛物线示例行，如下所示。

// uncomment the two lines below for a sinusoidal example
PlotMainAndModified(x => Math.Sin(-x), x => x * 2 + 3, 0.01, 10d);
AddPlot(Colors.Yellow, 0.01, x =>Math.Sin(-(x * 2 + 3)), 3d);

/*
// uncomment the two lines below for a parabola example
PlotMainAndModified(x => x * x, x => x * x - 2, 0.01, 10d);
AddPlot(Colors.Yellow, 0.01, x => (x * x - 2) * (x * x - 2), 3d);
*/

重新生成并运行 SimplePlot 项目将得到以下图。

原始函数 sin(-x) 以红色显示。通过将 2x + 3 替换原始函数中的 x 而得到的结果函数以蓝色显示。最后，我们用较细的黄色绘制组合函数 sin(-(2x + 3)) ，以显示它与替换结果（较粗的蓝色）相匹配。

现在，如果我们注释掉与正弦示例相关的两行，并取消注释与抛物线示例相关的行，如下所示。

    /*
    // uncomment the two lines below for a sinusoidal example
    PlotMainAndModified(x => Math.Sin(-x), x => x * 2 + 3, 0.01, 10d);
    AddPlot(Colors.Yellow, 0.01, x =>Math.Sin(-(x * 2 + 3)), 3d);
    */

    // uncomment the two lines below for a parabola example
    PlotMainAndModified(x => x * x, x => x * x - 2, 0.01, 10d);
    AddPlot(Colors.Yellow, 0.01, x => (x * x - 2) * (x * x - 2), 3d);

然后重新生成并重新运行项目，我们将看到以下图。

与第一个示例一样，红色显示的原始抛物线对应于 x² 函数。粗蓝色线是使用 x2 - 2 替换第一个函数中的 x 的结果的图。细黄色线是 (x2 - 2)2 函数的图，仅用于显示它与替换结果匹配。

ExpressionModifierTester 项目也可以用来学习如何使用替换功能。下面显示了 TestSimpleFunction 的代码。

[TestMethod]
public void TestSimpleFunction()
{
    Expression<Func<double, double>> 
    	originalExpression = t => t * t * t + 20;

    Expression<Func<double, double>> substituteExpression = t => t * t;

    LambdaExpression modifiedExpression = 
        originalExpression.Substitute("t", substituteExpression);

    Func<double, double> modifiedFunction =
               (Func<double, double>) modifiedExpression.Compile();
 
    Assert.AreEqual((int) modifiedFunction(1), 21);
    Assert.AreEqual((int) modifiedFunction(2), 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 + 20);
}

可以看到，我们的原始表达式是 t3 + 20。我们将 t2 替换 t。结果表达式对应于 t6 + 20。然后我们测试结果表达式确实产生了正确的值。

TestComplexPolynomial 具有类似的功能，只是其原始函数要复杂得多。

核心替换功能回顾

核心功能位于两个文件中：ExpressionVariableSubstituteHelper.cs 和 SubstExpressionVisitor.cs，它们包含同名的类。这些文件位于 ExpressionModifier 项目下。SilverlightExpressionModifier 项目下也有指向相同文件的链接。

Static 类 ExpressionVariableSubstituteHelper 包含 Substitute 扩展函数。它在主函数中查找要替换的参数对应的 ParameterExpression （如果按名称找不到该参数，则抛出异常）。它还执行其他一些检查，例如，它检查在替换后可能扩展的参数列表中不会发生名称冲突。然后，它调用 SubstExpressionVisitor 类的 Visit 函数来实际创建结果表达式树。

SubstExpressionVisitor 类派生自 ExpressionVisitor，并重写了三个函数：VisitUnary、VisitMethodCall 和 VisitBinary。也许我忽略了其他可能包含 ParameterExpression 对象的子项的表达式，然后，代码可能会在某些复杂的表达式上失败，但上述三个函数涵盖了大多数表达式。上述三个函数中的每一个都实现了检查其子项是否为我们要替换的 ParameterExpression ，如果是，则返回一个相同类型的新表达式，该表达式将该 ParameterExpression 子项替换为替换表达式的主体。

关注点

这种操纵表达式树的新方法在数学密集型项目中可能非常有用，例如在 2D 和 3D 图形及动画中。本文描述了将此方法应用于不同函数的绘图。我的下一篇文章将使用此方法进行沿任意路径的 2D 动画。

历史

• 2011年1月6日：初始发布