贝塞尔曲线简单实现

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引言

贝塞尔曲线是最基本的曲线，通常用于计算机图形学和图像处理。 这些曲线主要用于插值、近似、曲线拟合和对象表示。 在本文中，我将以一种非常简单直接的方式演示如何构建这些曲线并使用它们。

背景

贝塞尔曲线是参数曲线，非常易于定制和平滑。 它们非常适合许多应用。 它们以法国数学家兼工程师皮埃尔·贝塞尔的名字命名，他在 20 世纪 60 年代后期为汽车制造商雷诺工作时开发了这种计算机绘图方法。 人们说，在同一时期，福特的研究中也发生了同样的发展。 谁先发现它仍然存在争议。

由于我的图像处理背景，我的文章将主要关注插值和曲线拟合。 在插值中，人们只想使用已知值来找到未知点。 这样，一个离散的情况可以用一个更连续的结构来表示，并且我们可以为缺失的点定义一个明确的曲线。 该曲线使用某些数据点进行初始化，它试图生成近似（或插值）旧值的新值。

构造贝塞尔曲线算法

考虑 n+1 个点 P₀,…,P_n，并将这些点连接成一条折线，我们将其表示为控制多边形。

给定点 P_i，i = 0,...,n，我们的目标是确定一条曲线 g (t)，对于所有值 t Î [0,1]。 这个想法在下面进行了演示

基本算法

这里的目标是在两个相邻点的中间找到点，并重复此过程，直到我们不再有迭代。 点的新值将为我们提供曲线。 著名的贝塞尔方程是这个想法的确切表述。 这是算法

步骤 1：选择一个值 t Î [0,1]。 对于其余步骤，此值保持不变。

步骤 2：设置 P_i[0] (t) = P_i，对于 i = 0,...,n。

步骤 3：对于 j= 0,...,n，设置 对于 i = j,...,n。

步骤 4：g (t) = P_n[n] (t)

特殊和一般情况

现在，我将给出适用于某些应用程序的常见特殊情况的公式。 本文的代码没有演示任何内容，但它使用了广义公式。 所以，让我从广义公式开始

为了本文和代码中使用的简单性和约定，最好将此公式表示为

这个方程告诉我们的只不过是上述算法（中点迭代）的公式。 它非常重要，因为整个算法可以总结成一个公式，而直接的实现将产生正确的结果。 这里，n 表示点的数量，P 表示点本身。 这些点的阶乘系数简称为伯恩斯坦基函数，因为创始人以此命名。

以下是特殊情况

线性贝塞尔

二次贝塞尔

三次贝塞尔

理解和使用代码

这是执行所有工作的函数。 我认为它非常短而且非常简单。 因为我们只处理二维曲线，所以我们在 X 和 Y 坐标中有点。 该函数只是计算贝塞尔点。

public void Bezier2D(double[] b, int cpts, double[] p)
{
    int npts = (b.Length) / 2;
    int icount, jcount;
    double step, t;

    // Calculate points on curve

    icount = 0;
    t = 0;
    step = (double)1.0 / (cpts - 1);

    for (int i1 = 0; i1 != cpts; i1++)
    { 
        if ((1.0 - t) < 5e-6) 
            t = 1.0;

        jcount = 0;
        p[icount] = 0.0;
        p[icount + 1] = 0.0;
        for (int i = 0; i != npts; i++)
        {
            double basis = Bernstein(npts - 1, i, t);
            p[icount] += basis * b[jcount];
            p[icount + 1] += basis * b[jcount + 1];
            jcount = jcount +2;
        }

        icount += 2;
        t += step;
    }
}

其余的函数只是辅助函数，参与阶乘计算和基函数计算，我相信这很明显。 要正确使用此函数，请以以下格式提供一组点：XYXYXYXYXYXYXYXYXYXY.... 坐标以及您想在曲线上计算的点数。 该函数将使用路径点填充 p 数组。

关注点

由于阶乘计算的限制，该代码只能计算最多 32 个点的曲线。 更复杂的结构通常由这些曲线的组合表示（如在 Adobe Photoshop、Illustrator 和 Flash - 路径工具中）。

即使 GDI 有一个内置的贝塞尔曲线计算函数，学习使用内置库也永远不好。 你不会总是有 GDI 为你做事！ 在某个地方，某个时候，你可能不得不实现它，我想到现在，你应该对这些曲线的工作原理有一个大致的了解了。