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直角三角形：认识你最好的新朋友

Yvan Rodrigues

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2011年11月27日

CPOL

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你是不是在上三角学课的那天逃课了？这篇文章将向你解释你这些年错过了什么。

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引言

有时一个话题的实用性会立刻显现出来。你立刻会问自己，没有这个惊人的概念，我以前是怎么生活的。

我高中毕业后就没学过数学了，但我仍然记得高中几何课上一个改变我人生的决定性早晨。

背景

年轻时在上学，当遇到一个新话题时，听到诸如“我什么时候会在生活中用到这个？”之类的评论是很常见的。我记得在十年级数学课上，我们花了整整五个月的时间学习抛物线和二次方程。事后看来，问题是我们没有得到这些曲线如何有用的任何背景信息。老师讲授了课程规定要讲的内容，但这些方程的任何意义都丢失在翻译中。

三角形

我想我在七年级接触到了勾股定理。知道了直角三角形两条边的长度，定理就解释了如何确定第三条边的长度。

多么有用！有了这些知识，你就可以安全地放置伸缩梯来清理屋檐排水沟，计算地图上两点之间的最短距离，或者在只知道房间其他墙壁尺寸的情况下，购买足够的壁纸来覆盖倾斜的墙壁。

注意：美国人称这些为“right triangles”。请原谅他们。

我感觉我错过了这个 handy little triangle 的全部潜力。我不确定它还能做什么，但总感觉少了点什么。

十三年级几何课的一个早晨，缺失的部分出现了。角度！当然！是的，勾股定理解释了边之间的关系，但我们却忘记了角度。七年级时，我们接受了一个角是 90°，所有三个角加起来是 180°，但我们就止步于此了。

三角测量

十三年级那个决定性的三角学课程解释了很多东西：在知道两条边的长度的情况下，如何确定三角形中的任何一个角度；在知道一条边的长度和一个角度的情况下，如何确定任何一条边的长度；以及为什么我的计算器上会有那些神秘的 tan、cos 和 sin 按钮。

直角三角形让我们回顾一下。

所有的三角形都有三条边。
在直角三角形中，有两条边成直角（90°）相交。
第三条边，称为斜边，完成了这个形状。

这是一个三角形。斜边对面的小方块表示这是一个直角三角形（如果不存在，我们就不能假定角度是 90°）。

为了让本课的其余部分易于理解，让我们在三角形的一个顶点（称为顶点）旁画一个小人。他的名字叫迪特。这个简单动作的用处怎么强调都不为过，因为现在我们可以使用相对术语来描述另外两条未命名的边。迪特旁边的边，与他相邻的那条边，被称为…邻边。与他相对的那条边是…你猜对了，对边。

现在边已经命名了，我们可以应用一些方便的公式了。别担心；它们和毕达哥拉斯的著名公式一样简单。我们将使用符号 θ（希腊字母 theta）来表示离迪特最近的角度。我们将把对边和邻边缩写为 OPP 和 ADJ。

sin θ = OPP / HYP
cos θ = ADJ / HYP
tan θ = OPP / ADJ

“你为什么不写下来？” 正弦、余弦和正切函数被称为三角函数。

迪特在海平面上的山脚下。他要去爬到山顶。当他到达山顶时，他的海拔将是多少？

假设角度 θ 是 25°，斜边是 100 米。他的最终海拔等于对边的长度。

sin θ = OPP / HYP
    OPP = HYP · sin θ
    OPP = 100 · sin(25°)
    OPP ≈ 100 · 0.4226
    OPP ≈ 42.26

迪特的海拔将比海平面高约 42.26 米。

提示：在处理角度时，请确保您的计算器设置为度，而不是弧度。

我们也可以做相反的事情，使用反三角函数来确定角度。如果迪特沿着山坡走了 100 米，并且在山顶时他的高度计读数为 35 米，那么斜坡的角度是多少？

sin θ = OPP / HYP
     θ = sinˉ¹(OPP / HYP) = arcsin(OPP / HYP)
     θ = arcsin(35 / 100)
     θ = arcsin(0.35)
     θ ≈ 20.4°

倾斜角度约为 20.4°。正弦函数的反函数称为反正弦，通常用负指数表示（不要让它迷惑你）。

圆

仔细想想，圆周上的每个点都可以用三角形来表示。

我曾经多次做过一项任务，比如我写 Mabel’s Labels 的鞋子标签预览时。在插图中放置字母 *d* 时，如果我们需要将文本旋转 30° 并且半径为 50，那么 x 和 y 坐标是多少？

sin θ = OPP / HYP
     x = sin θ · r
     x = sin(30) · 50
     x = 0.5 · 50
     x = 25

cos θ = ADJ / HYP
     y = cos θ · r
     y = cos(30) · 50
     y ≈ 0.866 · 50
     y ≈ 43

字母 *d* 可以放置在坐标 (25,43) 处，角度为 30°。

演示

演示应用程序使用 Silverlight 来演示直角三角形和切线函数，以动画方式展示运动的球与固定柱之间的弹性碰撞。

应用程序本身并没有什么特别有趣的地方，但你可以看到这些概念在代码中的体现。动画没有利用 Silverlight 的动画功能，所以可能不够流畅。

未定义

结论

如果你能记住三个简单的公式并学会使用计算器上的三个按钮，你就能让那另外 72%¹ 的不会使用这些公式的人大吃一惊。

附录

¹ 我最初写这篇文章时，我编造了一个关于人们能够使用这些公式的百分比的统计数据。我对实际数字感到好奇，于是我启动了一个研究项目。

在我的实验中，我向全球 547 人（通过Amazon Mechanical Turk）支付了 0.01 美元，让他们解决上面迪特的问题。答案是多项选择题，除了“我不知道如何解决这个问题”和“我记得在学校学过，但忘了怎么解决”之外，还有六个数字答案。一分钱不是很多钱，但他们不知道自己是否会得到报酬，无论解决方案是否正确。他们有五分钟的时间来解决问题。对于那些有实际知识的人来说，这个问题很容易在大约三十秒内解决。有些人可能会去维基百科找出答案；另一些人可能只是随便选一个来继续下一个 HIT。结果如下：

8% “我不知道”
40% “我记得在学校学过”
24% 错误答案或猜测
28% 正确答案

致谢

写这些东西需要很长时间。如果你喜欢，请评分。