蒙提霍尔悖论图解
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一个说明蒙提霍尔悖论的 Window Forms 应用程序。
如果您的实验需要统计数据，那么您应该做一个更好的实验。
- 欧内斯特·卢瑟福
什么是蒙提霍尔悖论？
如果您看过电影《21 点》，您可能还记得影片开头有一个场景，一位讲师向他的学生提出了以下逻辑谜题：
假设您参加一个游戏节目，可以选择三扇门：一扇门后面是汽车，另外两扇门后面是山羊。您选择一扇门，主持人知道门后面的东西，他打开另一扇后面是山羊的门。然后他问您是否要重新考虑并选择另一扇门。更换您的选择对您有利吗？
学生同意交换选择，并且他是正确的。他的获胜几率将从 1/3 提高到 2/3。您可以在此处观看电影片段，维基百科对此被称为蒙提霍尔问题（以电视节目主持人命名）的悖论有相当全面的解释。
我将不再在这里重复这个问题的解决方案。它在网上各种来源中都有很好的解释。尽管如此，当理论论证有时不足以解决问题时，这个悖论仍会引发激烈的讨论——人们可能坚持认为这样的事情根本不可能发生。
这就是为什么我决定编写一个简单的 Windows Forms 应用程序，该程序接受门数（让我们展示任何门数的统计数据，而不仅仅是三扇门，主持人将不得不打开 N-2 扇后面有山羊的门）和迭代次数作为输入，并显示选择更换最初选择的玩家的几率。为了清晰起见，我们将假设玩家选择更换他们的最初选择，因此所有几率和概率都将根据选择更换策略进行计算。
这么多取决于主持人！
为了让程序更具说明性，我决定展示的不仅仅是蒙提霍尔的情况。由于许多人坚持认为更换门不会增加玩家的几率，我想展示什么时候这是真的：当主持人随机打开门，冒着揭示汽车的风险时，这是真的。但是，如果主持人知道汽车在哪里，并且故意只打开有山羊的门，那么更换门对玩家有利——门的数量越多，更换后获胜的几率就越高。
消息灵通的主持人
让我们从经典的蒙提霍尔情况开始：主持人知道门后面是什么，并且只打开有山羊的门。让我们为幸运的门和玩家的最初选择进行随机选择。
int luckyDoor = random.Next(0, numberOfDoors);
int doorSelectedByPlayer = random.Next(0, numberOfDoors);
现在，我们应该为主持人做一个选择，对吗？嗯，实际上我们不需要。他没有太多选择的自由，即使他有选择，也无关紧要。如果玩家没有选择到后面是汽车的门，那么主持人将不得不打开所有剩余的有山羊的门，留下后面是汽车的门不开。在这种情况下，更换我们最初的选择将使玩家获胜。但是，如果玩家第一次尝试运气不错，那就是他的坏运气，因为正如我们前面提到的，我们评估的是玩家更换最初选择的策略；因此，无论主持人选择打开哪些门，玩家都会选择另一扇门并揭示山羊。以下是有消息灵通的主持人的算法：
if (luckyDoor == doorSelectedByPlayer)
{
// Player guessed right on the first attempt,
// so he will lose after the swap
return GameResult.Goat;
}
else
{
// Player missed on the first attempt,
// so he will win the car after the swap
return GameResult.Car;
}
不明就里的主持人
对于不明就里的主持人来说，情况要复杂一些，因为可能会发生主持人随机选中后面是汽车的门。显然，这种情况会破坏游戏——我们评估的是当主持人揭示山羊时的获胜几率。因此，不明就里的主持人游戏规则要求在主持人打开玩家未选择的 N-2 扇门时揭示汽车的情况下，重新进行游戏。在这种情况下，与经典的蒙提霍尔情况不同，必须考虑主持人的选择。
int luckyDoor = random.Next(0, numberOfDoors);
int doorSelectedByPlayer = random.Next(0, numberOfDoors);
int doorNotSelectedByHost = random.Next(0, numberOfDoors - 1);
if (luckyDoor == doorSelectedByPlayer)
{
// Player guessed right on the first attempt,
// so he will lose after the swap
return GameResult.Goat;
}
else
{
// Player missed on the first attempt, check if host opened the lucky door
if (luckyDoor < doorSelectedByPlayer && luckyDoor != doorNotSelectedByHost ||
luckyDoor > doorSelectedByPlayer && luckyDoor != doorNotSelectedByHost + 1)
{
return GameResult.Discarded;
}
else
{
// Player will win the car after the swap
return GameResult.Car;
}
}
让我们仔细看看上面的代码。如果玩家最初选择了一扇后面是汽车的门，他最终还是会得到一头山羊。当他第一次选择一扇后面是山羊的门时的情况需要进一步检查。我们不是让主持人打开 N-2 扇门，而是简单地选择剩余的 (N-1) 扇未选择的门中的一扇 *不* 打开。这是等效的。主持人可能不会打开玩家选择的门，所以我们需要在他的门集中为玩家的门设置一个“空位”。当汽车位于主持人打开的门后面时（即 luckyDoor != doorNotSelectedByHost），游戏结果将被丢弃（并重玩游戏）。如果游戏未被丢弃，那么玩家在更换最初选择后将成为赢家。
关于随机数生成和线程的说明
尽管我喜欢实现独立的类（尤其是在这样一个简单的例子中），但我不得不创建一个 Random 对象实例，并在实现了不同主持人策略的类（GameWithInformedHost 和 GameWithCluelessHost）中使用它。在每次迭代中创建一个随机生成器太慢了，而且由于使用了相同的种子，导致随机性较差。在类之间共享一个 Random 对象实例使得应用程序运行速度更快。
最初，我曾考虑使用多个线程运行模拟游戏并持续报告进度，但在测试了在现代机器上运行这些算法的速度有多快之后，我得出结论，多线程只会增加代码的复杂性，而实际上没有任何好处。运行一百万次游戏只需要几秒钟，足以产生具有三位有效数字的结果。
同时进行百万次蒙提霍尔游戏
蒙提霍尔应用程序可以模拟任何次数的迭代和任何数量的门。以下是使用三扇门和一千万次迭代产生的结果：
另外，如果汽车在一亿扇门后面，结果是这样的：
正如您所见，在消息灵通的主持人的情况下，增加门的数量使更换玩家最初的选择成为必须：这是要么全有要么全无。而且，如果主持人不明就里，玩家的几率仍然是 50/50。