高斯-牛顿法用于齐纳二极管

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引言

该代码实现了高斯-牛顿法来求解非线性最小二乘问题，并将其应用于齐纳二极管的 I_Z(V_Z) 模型。

背景

最近，我一直在考虑一个意想不到的效应，即齐纳二极管电流对微控制器的输入级 (ADC) 的吸收；齐纳二极管本应只用于钳位可能的过高电压，而不应像实际上那样明显地改变输入信号。不幸的是，二极管的数据手册没有提供关于 I_Z(V_Z) 的详细信息，所以我不得不对其进行测量，然后，无可救药地被吸引，尝试对其进行建模。

本文描述了这个过程。

免责声明

• 本文不试图解释甚至介绍高斯-牛顿算法（例如，它在维基百科上已经得到了很好的详细介绍）。它只是将其用于一个目的。
• 使用高斯-牛顿方法是因为它很契合（抱歉用这个双关语）。虽然我确信有更高级的方法来计算非线性最小二乘，但我并不关心。我编写代码的过程很有趣。

实验数据

实验数据是使用图 1 中所示的简单电路收集的：一个可调电压发生器（实验室电源）与一个 992 欧姆的电阻和一个 3V3 的齐纳二极管串联。电压发生器为电路供电，为齐纳二极管提供正向和反向电压。

在这种电路中，电阻和齐纳二极管流过的电流是相同的

I_Z = I_R = V_R/R

因此，测量 V_Z 和 V_R 就可以获得所有需要的数据。

然而，额外测量 V_TOT 并非仅仅是浪费（我的）时间，因为它为收集到的 {V_Z, I_Z} 对提供了“冗余检查”。

数据文件

共收集了 123 个数据点，V_TOT 的范围从约 -21 V 到（约）18 V。

对应的值可在 data.csv 文件中找到。图 2 显示了数据的部分视图。

实验曲线

收集到的数据用图 3 绘制的曲线表示。

显示了齐纳二极管的特性行为：正向电压（本例中约为 0.7 V）下指数级增长的电流，反向击穿电压（约为标称值 -3.3 V）下指数级增长（但斜率非常不同，更平缓）的（负）电流。

在中区，电流非常小。

模型

选择的 I_Z(V_Z) 模型是“指数二极管”。

在本文中，我只考虑方程 (1)，该方程应仅在 V > -V_B 范围内有效，其中 V_B 是（齐纳）二极管的“击穿电压”。

图 0，位于页面顶部，实际上显示了该方程在无效范围（V <= -V_B）下的“灾难性失效”。

由于该齐纳二极管是 3V3 的，其标称 V_B 为 3.3 V。然而，本次测试的目的是“实验性地”确定方程 (1) 的有效范围。

计划

该计划包括迭代应用高斯-牛顿方法（非线性最小二乘）到实验数据的子范围（尾部），直到获得令人满意的拟合，以确定齐纳二极管的“实验击穿电压”（V_BE）。

（这个结果将是另一篇文章的起点，在其中需要找到 V < -V_BE 范围内的方程 (2) 的拟合。）

细节

• 在第 0 步，考虑所有实验数据来拟合模型（V_Start = V_min = V₀）。计算相应的方差。
• 在第 1 步，排除第一个实验点（V_Start = V₁），对剩余数据尾部进行拟合，计算相应的方差。
• 在第 2 步，排除第一个和第二个实验点（V_Start = V₂），对剩余数据尾部进行拟合和方差计算。
• ...
• 在第 83 步，停止所有操作，因为现在数据尾部相当小了。

最后，绘制方差(V_start)图以估算 V_BE。

高斯-牛顿算法

高斯-牛顿算法是一种求解非线性最小二乘问题的迭代方法（详情请参阅维基百科页面：高斯-牛顿算法[^]）。

迭代步骤 n+1，即在步骤 n+1 时模型估计参数的值是

在我们的例子中，在将方程 (1) 重写为如下形式之后

我们有模型函数

以及迭代步骤分量

其中明确显示了参数（2 个分量）和残差（N 个分量）的矢量性质，以及雅可比矩阵（N x 2 个元素）的矩阵性质。

幸运的是，J^TJ 乘积是一个 2x2 矩阵：其逆矩阵的计算是微不足道的。

代码

代码位于单个源文件 gn2.cpp 中 - 它使用 g++-7 编译，但任何现代 C++ 编译器都应该可以完成。

它包含一个名为 GN 的类，该类在 (main 函数中) 使用所有实验数据值（以及参数的初始估计）进行构造。

main 首先“任意地”设置 20 次迭代步骤，然后通过 offset 参数定义的尾部数据，迭代调用 GN::compute 方法。

 for ( size_t offset = 0; offset <= (N - 40); ++offset)
  {
    cout << "----------------------\n";
    cout << "starting with item:\n" << offset << endl << endl;
    auto  [ best_pe, best_var] = gn.compute(steps, offset);
    cout << "best pe:\n" << best_pe << endl;
    cout << "best variance:\n" << best_var << endl << endl;
  }
  cout << "done." << endl << endl;

对于每个范围，都会报告

• 在标准输出上，最佳计算出的方差以及相应的参数估计。
• 在一个名为 gn_<offset>.log 的日志文件中（例如 gn_009.log），记录了计算的所有细节（是的，大约会生成 80 个日志文件 :-)）。

控制台输出摘录

...
----------------------
starting with item:
9

best pe:
2.10572e-17
43.5169

best variance:
0.000195843
...

相应日志文件 gn_009.log 的摘录

experimental data
ex:
-3.773
-3.753
[...]
ey:
-0.0174294
-0.0164012
[...]
parameter estimates starting value
epe
5.18e-20
51.2

####################
step 0
r:
0
0
[...]
variance:
0.000197485

j:
0 0
0 0
[...]
jt:
0 0 0 0 [...]
[...]
jtr:
6.88719e+13
1.81736e-06

jtj:
7.32544e+35 2.96725e+16
2.96725e+16 0.00120204

inv_jtj:
1.30385e-32 -3.21856e-13
-3.21856e-13 7.94587e+06

identity:
1 0
0 1

dpe:
3.13055e-19
-7.72628

new parameter estimates:
3.64855e-19
43.4737
[...]

其中 identity = (J^TJ)^-1 · (J^TJ) 是一个“一致性检查”，而 dpe 是参数估计值的增量（delta）。

方差图

在图上收集并绘制了针对不同范围计算出的方差。

该图再次证实了方程 (1) 对于电压 V < -V_B 的不适用性。

它还指示了击穿电压的实验值 V_BE。事实上，模型在以下情况下“表现良好”：

V > -V_BE ≅ -2.8 V

关注点

我到处都使用 std::vector，但在这种特殊应用中，我发现 std::array 结合模板为矩阵计算提供了强大而简洁的工具，例如，考虑

template <size_t R, size_t C>
  array< array < double, R>, C > transpose
       ( const array < array< double, C >, R > & m, size_t offset)
{
  array< array < double, R >, C > t{0}; // the transposed matrix
  for (size_t r = offset; r<R; ++r)
    for ( size_t c = 0; c < C; ++c)
      t[c][r] = m[r][c];
  return t;
}

在我看来，这是一种几乎可以自文档化的转置操作实现。

您可以通过丢弃 offset 参数来实现更简洁的实现，我在这里使用它是为了提高性能而牺牲了通用性。

历史

• 2019年6月30日 - 首次发布