在 SQL Server 中使用泰勒级数计算指数函数

引言

在数学中，指数函数是 函数 e^x，其中 e 是一个数字（大约为 2.718281828），使得函数 e^x 是它自身的 导数。指数函数可以通过多种方式 定义，最常见的定义方式之一是使用 无限泰勒级数。

泰勒级数是一种将 函数表示为 无穷级数，其各项通过在单个点计算函数 导数的值来计算。

泰勒级数的概念由英国数学家 布鲁克·泰勒于 1715 年正式提出。如果泰勒级数以零为中心，则该级数也称为 麦克劳林级数，以苏格兰数学家 科林·麦克劳林命名，他在 18 世纪广泛使用泰勒级数的这个特殊情况。

我以两种不同的方式实现了指数函数，一种使用递归，另一种不使用。我使用了 公共表表达式；有关使用和实现 CTE 的更多详细信息，请查看这篇文章：SQL Server 中的 CTE。

使用 CTE 实现

为了弄清楚我在代码中做了什么，如图所示，我需要计算数字的阶乘和它们的幂。我使用 CTE 创建一个带有标识行的表。

CTE 中默认的递归次数为 100，我将标识号限制为 100，因此该级数持续 100 次。

;WITH CTE AS
(SELECT cast(1.0 as float) AS rowNumber
 UNION ALL
 SELECT cast(cast(rowNumber as float)+1 as float)
 from CTE
 WHERE rowNumber < 100)
 select *
 FROM CTE

结果是数字 1 到 100

然后对于每个数字，我需要它的阶乘。为此，我添加了一个额外的列，它是对每一行进行乘法运算后的结果。

;WITH CTE AS
(SELECT cast(1.0 as float) AS i, 
        cast(1.0 as float) AS factorial
 UNION ALL
 SELECT cast(cast(i as float)+1 as float),
        cast(cast(factorial as float)*(cast(i as float)+1)as float)
 FROM CTE
 WHERE  i < 100) 
select * from CTE
    

结果如下

最后，对于每一行，我需要 x 的 rowNumber 的幂，并使用幂函数。

首先创建的行是 @x ^1 的结果。在第二行中，我从 rowNumber +1 开始计算幂。

    declare @x  float = 3
;WITH CTE AS
(SELECT cast(1.0 as float) AS rowNumber, 
        cast(1.0 as float) AS factorial,
    cast(@x as float)as [power]

 UNION ALL
 SELECT cast(cast(rowNumber as float)+1 as float),
        cast(cast(factorial as float)*(cast(rowNumber as float)+1)as float),
    cast(power(cast(@x as float),cast(rowNumber+1 as float)) as float)
 FROM CTE
 WHERE  rowNumber < 100) 
select * from CTE
 

结果如下

最后，我通过动态连接将每一行的幂除以阶乘，并将它们相加。

create FUNCTION dbo.EpowerX(@x int)
RETURNS FLOAT
AS
BEGIN
declare @Result float
;WITH N AS
(SELECT cast(1.0 as float) AS i, 
        cast(1.0 as float) AS f,
        cast(@x as float)as g
 UNION ALL
 SELECT cast(cast(i as float)+1 as float),
        cast(cast(f as float)*(cast(i as float)+1)as float),
        cast(power(cast(@x as float),cast(i+1 as float)) as float)
 FROM N
 WHERE  i < 100) 
select @Result=isnull(@Result,cast(@x as float))+ cast(g as float)/cast(f as float) 
from N
where i !=1
OPTION (MAXRECURSION 0);
RETURN @Result + 1
END 

select cast(cast(dbo.EpowerX(30) as float) as decimal(38,3)) as myex
select cast(cast(EXP(30)as float) as decimal(38,3)) sqlexp

结果是

我希望这篇文章对您有所帮助，并且您喜欢 T-SQL 编程。