求解三次方程

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卡丹诺方法

杰罗拉莫·卡丹诺于 1545 年发表了一种求解三次方程的方法。维基百科上对这种方法有描述。但它不够详细，而且是在德语维基百科上。事实上，最后一部分缺失了，没有这一部分，就无法将其实现到算法中。所以我想我可以尝试从维基百科描述结束的地方开始 :)

维基百科的描述从三次方程开始

即使缺少一些细节，维基百科的描述在以下部分之前都还不错

  和  

现在事情变得有趣了，大多数描述都变得模糊不清。

有三种可能性：D >= 0，D = 0和D < 0。

D > 0

如果D > 0，则D的根是实数，我们得到一个实数解和两个复数解，分别对应于u和v

实数解是

  和  

这两个复数解的长度与u0和v0相同，每个解的复角分别为 120° 和 240°。这意味着

  和  

对于复角，我们得到

  和  

并且

  和  

因此，我们得到u的三个可能解和v的三个可能解，如果我们将它们组合起来，我们得到九个可能解。就差不多是这样了，但并非所有解都有效。此外，上面我们有条款u*v = - p/3，但对于u和v的所有九种组合来说，情况并非如此。它仅对组合uo * vo, u1 * v2和u2 * v1有效。让我们看看u1 * v2。那就是

如果我们分开

并且

这仅适用于ε1 * ε2。如果我们组合ε1 * ε1，仍然存在一个虚部，并且这不能给出 - p/3。这是卡丹诺公式的描述中最常缺失的部分

因此，给定D > 0，有三个解。但只有第一个是实数。

y1 = u0 + v0

y2 = u1 + v2

y3 = u2 + v1

在通往此的过程中，已经进行了替换

x = y – a/3 = u + v – a/3

不应忘记这一点，因为我们最终要寻找的是“x” :)

如果我们将此放入代码中，它看起来像这样

if (d > 0)
{
    u = Xroot(-q / 2.0 + Math.Sqrt(d), 3.0);
    v = Xroot(-q / 2.0 - Math.Sqrt(d), 3.0);
    x1.real = u + v - a / 3.0;
    x2.real = -(u + v) / 2.0 - a / 3.0;
    x2.imag = Math.Sqrt(3.0) / 2.0 * (u - v);
    x3.real = x2.real;
    x3.imag = -x2.imag;
}

D = 0

如果D = 0，我们有相同的三个解，但是由于D = 0，u0 = v0并且

并且y3 = y2。这意味着我们只得到两个解。

在代码中，那是

if (d == 0)
{
    u = Xroot(-q / 2.0, 3.0);
    v = Xroot(-q / 2.0, 3.0);
    x1.real = u + v - a / 3.0;
    x2.real = -(u + v) / 2.0 - a / 3.0;
}

D < 0

情况D < 0被称为“不可约情况”。现在D的根变为复数，u和v的三次根也变为复数。

  和  

为了求解这个复数根，我们将复数解释为长度为r和复角为α的数。

使用之前更早的替换

4((q/2)² + (p/3)³) = 4D

我们得到u和v的相同长度

对于u，角变为

对于v，角变为

为了从现在开始得到这个的三次根，我们必须计算r的三次根，并且基本上将α除以 3，就完成了。至少对于第一个解。复数的三次根不仅有一个解，而且有三个解。我们将角度α通过将α/3乘以 3 次获得一次，通过将(2π + α)/3乘以 3 次获得两次，并通过将(4π + α)/3乘以 3 次获得三次。这使我们得到了u的三个解和v的三个解。它们看起来像这样

并且由于α_v = 2π - α

这将再次给出九个可能的解。但是由于我们对实数解感兴趣，因此我们可以将其减少为三个实数解。对于三个组合

u0 + v2 u1 + v1 u2 + v0

虚部变为 0，解为

这是最复杂的部分

if (d < 0)
{
    r = Math.Sqrt(-p * p * p / 27.0);
    alpha = Math.Atan(Math.Sqrt(-d) / -q * 2.0);
    if (q > 0)                         // if q > 0 the angle becomes 2 *PI - alpha
        alpha = 2.0 * Math.PI - alpha;

    x1.real = Xroot(r, 3.0) * (Math.Cos((6.0 * Math.PI - alpha) / 3.0)
	    + Math.Cos(alpha / 3.0)) - a / 3.0;
    x2.real = Xroot(r, 3.0) * (Math.Cos((2.0 * Math.PI + alpha) / 3.0)
		+ Math.Cos((4.0 * Math.PI - alpha) / 3.0)) - a / 3.0;
    x3.real = Xroot(r, 3.0) * (Math.Cos((4.0 * Math.PI + alpha) / 3.0)
		+ Math.Cos((2.0 * Math.PI - alpha) / 3.0)) - a / 3.0;
}

但就这些了 :)