NURBS 曲线的简化
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NURBS 曲线的简化
注意
- 本文将向读者展示如何在不依赖任何现有NURBS库的情况下，绘制或设置NURBS曲线（无论是均匀还是非均匀）。
- 读者只需具备基本的OpenGL和freeglut绘图知识，能够绘制圆弧或圆形即可。
- 实际上，NURBS曲线既可以使用OpenGL绘制，也可以不使用OpenGL。这里之所以选择OpenGL，是因为作者将介绍一组新推导出的KNOTS-EQUATIONs（节点方程）作为核心算法，需要OpenGL函数进行验证。
NURBS与Bezier
NURBS广泛应用于计算机图形学和实体CAD应用程序中，许多程序员希望将其功能集成到自己的应用中，但网络上几乎没有**简洁**的开源库可用。因此，如果你想了解其内部原理，或许可以看看我对此的解读。
有些人可能认为NURBS很复杂，因为它有多种变体，如均匀/非均匀、有理/非有理。然而，如果你给我五到十分钟，我将向你展示NURBS和Bezier曲线一样简单。无论均匀或非均匀，NURBS本质上由一个或一组Bezier曲线构成；如果你愿意继续看下去，你只需要了解Bezier系列方程即可理解NURBS的数学原理。为了节省你记忆或查找常用Bezier方程的时间，我在下文图1中附上了它们。
NURBS的编程
在深入NURBS编程之前，我想再次强调，NURBS曲线实际上是一条或多条Bezier曲线首尾相连，并遵循特定数学约束规则。在微软的术语中，两条或多条连续连接的Bezier曲线称为Poly-Bezier。**因此，NURBS只是PolyBez的一个子集，其约束规则由节点数组（Knots-array）和NURBS基函数（NURBS Basis function）决定。**
稍后你会看到，节点数组是一组数字（整数或浮点数），它们除了控制点之外，也决定了NURBS的形状。**这意味着实际上有两个主要的变量控制NURBS的形状：一个是控制点，另一个是节点数组。** 然而，某些节点模式可能会导致特定的Bezier曲线段失效。因此，如果你想在你的代码中管理NURBS，首先需要一个工具来为复合Bezier曲线（polyBez）的每个段动态记录信息，我使用的是一个BitAry类。你可以自行在源代码中查看它，现在我们只需要了解为什么需要它。
接下来，我们需要为活动的NURBS准备三个数据数组用于**节点**，两个数据数组用于**控制点**，以及一个数据数组用于**polyBez控制点**。像我一样将它们准备好。
std::vector<Vec2D> CtrlPts; // core record of NURBS' control points std::vector<Vec2D> RingPts; // RingPts[], control-points used by Ring-NURBS. std::vector<double> coreNuts; // coreNuts is the base of Knots[] std::vector<double> OpenNuts; // knots array used by Open-NURBS std::vector<double> RingNuts; // knots array used by Ring-NURBS. std::vector<Vec2D> BezPts; // this is the polyBez array used to draw NURBS.
好的，你可能会问，我们要绘制多少个NURBS？为什么需要3个knots[] + 2个Ctrls[] + 1个BezPts[]？原因很简单，你需要一个节点数组作为核心基础；一个OpenNuts[]用于绘制NURBS的开放曲线，如果你想让曲线首尾相连形成一个**环**，则需要RingNuts[]；OpenNuts[]和RingNuts[]都基于你的核心coreNuts[]。通过这种安排，你可以灵活地动态更改曲线形状所需的任何内容，并且你的程序将能够自由地沿着任何合理的NURBS路径绘制。
同样，对于两组控制点；第一个CtrlPts[]用于形成开放NURBS和你的核心控制点记录，第二个RingPts[]用于闭合的环形NURBS。
**哦，有一件重要的事情我忘了说，我们将通过PolyBez结构来绘制NURBS。** 这意味着我们必须能够首先将NURBS控制点转换为Bezier控制点。是的，你猜对了，这正是我们需要BezPts[]的原因。
为什么我们为一个NURBS需要这么多数组？
- 首先要了解的一个重要点是，当你改变节点的模式时，NURBS的形状也会随之改变。例如，如果进行裁剪（clamp），曲线可能会被约束在第一个或最后一个端点。如果程序需要改变裁剪状态，我实际上是将coreNuts[]复制到OpenNuts[]，然后修改OpenNuts[]的第一个或最后几个元素来实现曲线的裁剪；一旦想取消裁剪，只需将coreNuts[]复制回OpenNuts[]即可。
图2，coreNuts[] 与 OpenNuts[] - 第二件你需要理解的重要事情是，NURBS的**环形**实际上使用了比你从图中所见的更多的控制点。看看下面的NURBS，猜猜它用了多少控制点？
好的，在你准备好之后，我将开始向你展示一张关于**节点数组**和**控制点**之间关系的图。
**上述三幅图中的控制点与节点的关系**，可能是世界上首次展示，我不知道它们之前为什么没有出现在书籍或其他媒体中，无论如何，这是我的理解。
节点方程
**接下来，我将展示我的节点方程，它用于将NURBS转换为PolyBez，并且转换后的PolyBez仍然遵循NURBS的数学约束规则。** 你可能会问，为什么使用一些闻所未闻的方程？为什么不使用已有的方法？我想，除了我的方法，可能只有一种现有方法可以将NURBS转换回其PolyBez形式，那就是通过NURBS的基函数（Basis equations），你可以在维基百科上查阅。B-Spline或NURBS的**基函数方程**是一种递归算法，在我们的想象和编程中都是如此；由于是递归的，它比直接的函数稍慢。请看看我下面的方程，我相信你会发现我的方程更容易理解，并且比以往任何时候都更清晰地展示了CtrlPts[]和Knots[]之间的关系。
让我以三次NURBS为例来解释这些方程的用法，
- 首先，我们通常使用a、b、c、d来表示三次Bezier曲线的四个控制点，但在我的方程中，我使用v0、b0、c0和v1来表示Bezier段0的四个控制点，v1、b1、c1和v2表示段1，以此类推。
- 三次节点方程表明，变量bn和cn都依赖于NURBS控制点p0~pn；vn则是一个依赖于bn和c[n-1]的变量。由于vn的计算需要bn和c[n-1]，因此当我们计划将三次NURBS转换为PolyBez形式时，所需的总Bezier控制点可以通过以下计算获得：
假设我们的目标三次NURBS有n个控制点；
那么它必须由(n-3)段三次Bezier曲线构成；
因此，所需的总Bez3控制点为(n-3)*3+1；
然而，我们需要c[-1]和b0来计算v0，以及c[n-1]和bn来计算vn，但cF（第一个c点）和bL（最后一个b点）并未计入(n-3)*3+1的计数中；
因此，转换所需的总临时Bez3控制点为(n-3)*3+3。
图 7 - 好了，请在这里稍加注意，这很重要。 你可以看到我的节点方程都在处理分数，并且每对bn和cn实际上共享相同的分母。那么，如果分母等于零怎么办？如果对于任何一对bn和cn出现这种情况，则意味着该对bn和cn无效或不存在；这意味着第n段的Bezier曲线也不存在。此外，变量vn也受相同的数学规则约束。
- 通过这些节点方程，你可以轻松地找到节点通过它们纠缠的关系对方向向量（即p[m] – p[n]）产生的“作用力”分数。看看下面的方程，你就会明白我在说什么。
图8，纠缠的节点。一旦你找到了由这些节点方程控制的数学关系，将其编码到你的程序中就只是一个简单的问题了。
现在你可以开始运行我的程序了，请先查看命令列表，了解你可以用它做什么，然后尝试单击鼠标并拖动你创建的点，看看程序的响应。但在深入体验之前，让我们回到正轨，完成NURBS的环形和有理部分。
环形NURBS的节点对齐
正如我之前提到的，形成一个**环**实际上需要比你从图中所见的更多的控制点。如果你忘了原因，请再次查看图4。我们选择将CtrlPts[]作为内核，而不是用RingPts[]替换它的原因在于，你的应用程序用户可以选择形成一个环，也可以选择将其再次断开。所以，正如我所提到的，NURBS由两个主要变量控制，一个是它的控制点，另一个是它的节点。现在是时候深入了解环形NURBS内部的节点是如何对齐的了。
在我看来，节点本身没有意义，真正的意义来自于我们在方程中找到的两个独立节点之间的差值。**虽然我们习惯称节点为“节点向量”（Knots-vector），但它实际上是一个标量，而不是向量；事实上，向量是由控制点（p[n+1] – p[n]）构成的。** 因为只有控制点的坐标才能为我们提供空间方向，而节点与方向或方向变化完全无关。
那么，如何安排节点的变化来形成一个环？请看下面的图片。（我比较笨，总是画图来弄清楚我的问题是什么以及如何分析它；而且我猜你也发现了我在用英语描述事物之间的数学关系时有困难。）
有理NURBS
所谓的有理B样条（Rational-Bspline）与非有理B样条（Non-rational-Bspline）唯一的区别在于其每个控制点的权重因子。请快速浏览下面的图10，
你可以在图10中看到，以三次“**bn**”方程为例。在其有理方程中，除了控制点之外，都是标量，因此很容易通过改变一个表示权重因子的变量，使其再次看起来与非有理方程相似。此外，新的“**bn**”有理方程可以告诉我们，将非有理节点方程转换为有理节点方程不会改变其Bezier形式的控制点，唯一改变的是每个Bezier控制点的权重因子。这对我们来说是个好消息，无论你喜欢使用有理还是非有理形式的节点方程，从NURBS转换为BezPts[]的过程几乎都是相同的。
介绍结束
最后，这是关于如何构建不同形式NURBS曲线的介绍的结束。由于我的节点方程是将NURBS转换为poly-Bez形式的一种全新方法，也许有些人不相信我的数学可信度。请随意，我的源代码中有一个VERIFY命令，它使用OpenGL内置命令gluNurbsCurve()来绘制NURBS。你可以随时按“V”键来检查曲线，看看glu命令是否与我的代码绘制出相同的曲线？
同样，一旦你理解了我定义这些数据存储来处理不同形式NURBS的原因，阅读源代码本身就很容易了。所以，我让代码自己进行动态演示，否则你可能会对我的英语表达感到更加困惑。
我完全理解阅读我的文章不是一件令人兴奋的事情，但我仍然希望你能将我的源代码作为测试辅助工具来运行NURBS，如果你愿意，也可以将我的代码作为基础来开发你自己的NURBS类；你也可以通过设置自己的规则来生成非均匀节点，从而进一步简化它。但请注意，制定一个定义良好的节点对齐规则并非易事，祝你好运。
我希望这些方程、图片和我的代码能回答你关于NURBS曲线的所有问题。然而，如果你确实想直接问我问题，请使用简洁的英语，并请提前原谅我，如果我无法立即回答；因为我还在忙一些无法一直上网的事情。
3D进阶研究
我相信很多人有兴趣将NURBS应用于3D，并且不满足于只绘制2D曲线。在这种情况下，我建议你下载并研究由Rob Bateman先生编写的“Simple Bezier Patch Example”的源代码（请点击“OpenGL”菜单找到指定的示例代码）。我不认识他本人，但如果你想彻底理解NURBS曲面或Bezier Patch，那么我的节点方程加上他的代码示例可能是快速掌握的途径。
关于NURBS节点定义的疑难
- 节点是标量，不是向量。
- 节点重数（Multiplicity-of-Knots）的定义不正确。
我看到许多教科书做出了类似的定义，如下：
对于钳位B样条
第一个和最后一个节点值重复出现的重数等于阶（次数+1），这将使端点经过控制点。
对于三次B样条，第一个/最后一个节点的重数必须为4（重复四次）。
- 多余的节点。
例如，从我的节点方程中很容易发现，节点数组的**k0**和**kL**（最后一个元素）从未被使用，如果我没记错的话，这两个节点在B样条的基函数中也从未被使用。
描述
- 关于第二点，**创建首尾钳位的NURBS，重数仅为次数（degree），而不是阶（order）**（次数+1）。
例如，你可以自己测试节点模式k[] = {a,b,b,b,c,c,c,d} 配合三次4点NURBS，或者
k[] = {a,b,b,b,c,d,d,d,e} 配合三次5点NURBS。
并看看下面的示例图，
图12，三次NURBS重数示例你也可以编写自己的代码，并使用原始OpenGL的gluNurbsCurve()命令来验证它们。
- 关于第三点，多余的节点，我不是第一个提出这个问题的人。你可以查看这个链接，了解McNeel-Wiki，它表达了相同的观点；我相信实现gluNurbsCurve()函数的程序员很久以前就知道这个问题了，因为它的很多行为都是正确的。我想这个问题之所以长期存在，只是因为直到我的方程出现之前，没有人能证明它是错误的。
总而言之，由于我不是训练有素的数学家（我甚至不知道如何正确写一篇数学论文），我认为最好将节点定义的问题留给专家们来解决。我只是尽力在这里展示我所学到的东西，并希望他们以后不再向年轻学生传授错误的信息。
gluNurbsCurve()的疑似bug
尽管我用它来验证我自行推导的节点方程的实现，但我发现这个命令有时无法正常工作。例如，你可以在自己的电脑上检查下面我收集的节点数据模式；因为我目前只在最旧版本的Microsoft内置opengl32.lib和glu32.lib上测试过它们。
1. k[]={0,3,5,9,9,9,9,9,11,13,15}; 8-points quadratic-NURBS;
2. k[]={0,3,3,3,3,5,9,9,9,9,9}; 7-points cubic-NURBS;
3. k[]={0,3,3,3,5,5,5,5,5,8,8,8,9}; 9-points cubic-NURBS;
4. k[]={0,3,3,3,5,5,5,5,5,5,8,8,8,9}; 10-points cubic-NURBS;
5. k[]={0,1,3,5,6,7,7,8,9,9,9,9,9,9,19}; 11-points cubic-NURBS;
6. k[]={0,1,2,3,3,3,3,3,3,3,5,8,8,8,9}; 10-points quartic-NURBS;
7. k[]={0,3,3,3,3,3,3,4,5,5,5,8,8,8,9}; 10-points quartic-NURBS;
gluNurbsCurve()命令无法为上述示例节点以及其他类似模式生成曲线。我不敢说这一定是OpenGL基础或Microsoft的bug，但我认为值得注意，因为我的方程可以为它们生成曲线。
顺便说一句，如果有人愿意检查我的节点方程，甚至对其进行某种形式的压力测试，我将非常欢迎。然而，如果有人想质疑我是否有资格提出这些关于数学定义或GL命令bug的问题，请先查看我过去的作品。
我知道我微不足道，所以我将把所有我开发出的信息留给你来评判。
更新于20150628
关于**节点数组是向量还是标量？**这个问题，我曾给密歇根理工大学的Ching-Kuang Shene教授写过邮件寻求指导，他告诉我：
“节点是有序标量，有序标量构成一个向量。‘节点向量’（knot vector）这个术语已经使用了三十多年，几乎所有NURBS的标准教科书都使用节点向量。”
因此，我在此更正我自己的误解是我的义务，非常感谢他对一个陌生人提供的友好回复。