双摆（DoublePendulum）第二部分：双摆的相空间轨迹
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一个 WPF 3D 模拟，用于可视化双摆的相空间轨迹。
引言
我的双摆项目的第一个部分介绍了一个应用程序，该应用程序根据不同的初始参数显示双摆在位置空间中的运动。长期行为通过庞加莱截面图进行可视化。
在第二部分中，我添加了3D视图，以便在相空间中可视化运动，并能够加载不同能量的庞加莱截面图。
背景
正如第一篇文章所述，双摆有四个自由度：两个摆锤的角度和角速度（Θ1、Θ2、ω1和ω2）。为了求解运动方程，切换到广义坐标更方便，在这种情况下是角度和角动量（Q1、Q2、L1和L2）。
当摆动时，它在由Q1、Q2、L1和L2组成的四维相空间中沿一条路径移动：相空间轨迹。如果运动是周期性的，轨迹是一个闭合曲线，因为运动会在某个时间点重复。对于准周期运动，轨迹不再闭合，而是形成规则的结构；对于混沌运动，轨迹完全不规则，就像一团乱麻。
由于我们有限的3D能力，我们无法观察4D空间中摆的运动。但我们可以使用建筑师在绘制他们计划的3D建筑物的2D图纸时使用的相同技巧：而不是一个3D视图，他们会创建几个2D视图，从顶部、正面和侧面展示建筑物。在每个视图中，第三个维度都被简单地忽略了。
在我们的情况下，我们可以创建四个3D视图，从不同的侧面展示4D轨迹。可能的截面是：（Q1、Q2、L1）、（Q1、Q2、L2）、（L1、L2、Q1）和（L1、L2、Q2）。
使用代码
如果你解压演示项目，会有一个Data文件夹，其中包含数千个不同能量模拟的庞加莱点。每个能量都有一个单独的子文件夹。如果你自己构建代码，你需要将该文件夹移动到VS解决方案的bin目录。
使用应用程序
启动时，应用程序会读取Data文件夹的子目录，并在主窗口的右侧列表中显示它们。通过选择其中一个，将加载相应能量的所有模拟的庞加莱点，并重新创建庞加莱截面图。
你现在可以通过在地图的某个点上单击鼠标右键来开始新的模拟。再次单击鼠标右键或使用2D视图中的“开始/停止”按钮停止模拟。
如果你想放大地图，只需按住左键将鼠标拖动到右下角。拖动到左上角将缩小。拖动一小段距离将缩小一个级别，而拖动长距离将再次显示整个地图。
3D视图显示摆本身或四个相空间截面之一。通过顶部的按钮在它们之间切换。每次切换视图时，相空间中的轨迹都会重新创建。因此，需要运行模拟才能在此处看到内容。
示例轨迹
在极低能量下，摆的运动主要由两个周期性状态主导：同相运动和反相运动。任何不严格周期性的运动都属于这些状态之一，是准周期的。这是能量为0.1时的庞加莱截面图
上半区域的白点代表同相运动，而下半区域的黄点代表反相运动。如果你读过我关于摆的第一篇文章，你可能会回想起单摆在低能量下的相空间轨迹只是一个圆。因此，双摆在同相运动时显示出类似的简单特征并不令人惊讶
反相运动的轨迹也非常简单
那么，准周期运动呢？如果我们开始一个在同相共振点附近的模拟，并让摆动几下，轨迹看起来是这样的
正如你可能想到的，轨迹不会重复，但也不会远离周期路径，从而在周期曲线周围形成一个漂亮的图案。如果我们现在将初始点从同相共振点移开，比如移到同相和反相吸引子之间的某个位置，图案就会扩展成这个美丽的环
当能量升高时，会出现新的周期性运动，正如你在能量为0.3的庞加莱截面图中看到的
在左侧或右侧的品红色吸引子的中心开始模拟将导致此轨迹
路径仍然是闭合的，但比之前的单个共振点要复杂。通常，庞加莱图中的共振点数量与轨迹的复杂度之间存在相关性。下一张图显示了能量为2.2时三共振的轨迹
这是一条在庞加莱图中具有5个点的周期性运动，能量为1
你肯定会同意，这些周期性和准周期运动的轨迹看起来很棒，而且实时观察不同能量下的它们真的很有趣。但肯定还缺少一张图。混沌！这是能量为3.8时的样子
就是这样！
双摆文章的第二部分增加了超过5000次模拟的庞加莱截面图数据，以及查看相空间截面中摆运动的能力。希望你喜欢它！
致谢
对于应用程序的3D部分，我使用了自己开发的WFTools3D库，我需要为轨迹添加一个新的模型。我不知道如何实现这样的管子，但最终发现了Helix Toolkit项目，它有一个很酷的MeshBuilder类（以及其他很酷的东西），可以完成这项工作。为了让我的库保持小巧，我只复制了相关的代码行并根据我的目的进行了调整。
历史
2016年5月26日：初始上传